สถิติศาสตร์

สถิติศาสตร์ (อังกฤษ: statistics) เป็นการศึกษาการเก็บ การวิเคราะห์ การตีความ การนำเสนอและการจัดระเบียบข้อมูล ในการประยุกต์สถิติศาสตร์กับปัญหาทางวิทยาศาสตร์ อุตสาหกรรมหรือสังคม ฯลฯ จำเป็นต้องเริ่มด้วยประชากรหรือกระบวนการที่จะศึกษา ประชากรเป็นได้หลากหลาย เช่น "ทุกคนที่อาศัยอยู่ในประเทศหนึ่ง" หรือ "ทุกอะตอมซึ่งประกอบเป็นผลึก" สถิติศาสตร์ว่าด้วยทุกแง่มุมของข้อมูลซึ่งรวมการวางแผนการเก็บข้อมูลในแง่การออกแบบการสำรวจและการทดลอง

ในกรณีไม่สามารถเก็บข้อมูลสำมะโนได้ นักสถิติศาสตร์เก็บข้อมูลโดยการพัฒนาการออกแบบการทดลองจำเพาะและตัวอย่างสำรวจ การชักตัวอย่างเพื่อเป็นตัวแทนประกันว่าการอนุมานและการสรุปสามารถขยายจากตัวอย่างไปยังประชากรโดยรวมได้โดยปลอดภัย การศึกษาทดลองเกี่ยวข้องกับการวัดระบบที่กำลังศึกษา จัดดำเนินการระบบ แล้ววัดเพิ่มโดยใช้วิธีดำเนินการเดียวกันเพื่อตัดสินว่าการจัดดำเนินการดัดแปรค่าของการวัดหรือไม่ ในทางกลับกัน การศึกษาสังเกตไม่เกี่ยวข้องกับการจัดดำเนินการทดลอง

มีการใช้ระเบียบวิธีสถิติศาสตร์สองอย่างหลักในการวิเคราะห์ข้อมูล ได้แก่ สถิติศาสตร์พรรณนา ซึ่งสรุปข้อมูลจากตัวอย่างโดยใช้ดัชนีอย่างค่าเฉลี่ยหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสถิติศาสตร์อนุมาน ซึ่งดึงข้อสรุปจากข้อมูลซึ่งมีการกระจายสุ่ม (เช่น ข้อผิดพลาดสังเกต การกระจายการชักตัวอย่าง) สถิติศาสตร์พรรณนาส่วนใหญ่ว่าด้วยชุดคุณสมบัติของการกระจายสองชุด ได้แก่ แนวโน้มสู่ส่วนกลางซึ่งมุ่งให้ลักษระค่ากลางหรือตรงแบบของการกระจาย ขณะที่การกระจายให้ลักษณะขอบเขตซึ่งสมาชิกของการกระจายอยู่ห่างจากส่วนกลางและสมาชิกอื่น การอนุมานสถิติศาสตร์คณิตศาสตร์กระทำภายใต้กรอบทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งว่าด้วยการวิเคราะห์ปรากฏการณ์สุ่ม ในการอนุมานปริมาณไม่ทราบค่า มีการประเมินค่าตัวประมาณค่าตั้งแต่หนึ่งตัวโดยใช้ตัวอย่าง

คณิตศาสตร์ฟิสิกส์

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์

แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

อนึ่ง การศึกษาแคลคูลัสอย่างละเอียดในเวลาต่อมา ได้ทำให้เกิดศาสตร์ใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย เช่น คณิตวิเคราะห์ และ ทฤษฎีการวัด

ประวัติของแคลคูลัส

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบ วิธีการแจงกรณี ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรได้ อาร์คิมิดีส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณ ซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

                                                                           เซอร์ไอแซก นิวตัน

                                                                     กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซ ที่เป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัส คือ เครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวัน ๆ นั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสม ที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การโต้เถียงกันระหว่างไลบ์นิซ และนิวตัน ได้แบ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่พูดภาษาอังกฤษ ออกจากนักคณิตศาสตร์ในยุโรป เป็นเวลานานหลายปี ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในอังกฤษล้าหลังกว่ายุโรปเป็นเวลานาน เครื่องหมายที่นิวตันใช้นั้น คล่องตัวน้อยกว่าของไลบ์นิซอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็ยังใช้กันในอังกฤษจน Analytical Society ได้ใช้เครื่องหมายของไลบ์นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้น สันนิษฐานกันว่า นิวตันค้นพบแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสก่อน แต่อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซเป็นผู้ที่เผยแพร่ก่อน ทุกวันนี้เป็นที่เชื่อกันว่า ทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างก็ค้นพบแคลคูลัสด้วยตนเอง

ผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ เดส์การตส์, Barrow, เดอ แฟร์มาต์, ฮอยเก้นส์ และ วอลลิส โดยเฉพาะ เดอ แฟร์มาต์ ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โควะ เซกิ ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน ได้ค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตร อัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้

เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆ ของอนุพันธ์คือ ลิมิตของอัตราส่วนในการเปลี่ยนแปลง (difference quotient). อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง = มวล×ความเร่ง มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton's Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก

พื้นฐานของแคลคูลัส

พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัส มีฐานมาจาก แนวคิดของฟังก์ชัน และลิมิต มันรวมเทคนิคของพีชคณิตพื้นฐาน และการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ รู้จักกันในชื่อ การวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งประกอบด้วย นิยามที่เคร่งครัด และบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส เช่นทฤษฎีการวัด และ[[การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เบื้องต้น

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นวิธีการที่ตรงกันข้ามกัน กล่าวคือ ถ้าเราสร้างฟังก์ชันที่เป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งขี้นมา อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราสร้าง ก็จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น นอกจากนี้ เรายังหาปริพันธ์จำกัดเขตได้ด้วยการกำหนดค่าให้กับปฏิยานุพันธ์

ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก. ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง. ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์. ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน. สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์

การประยุกต์นำมาใช้

การพัฒนาและการใช้แคลคูลัสได้ขยายผลไปแทบทุกส่วนของการใช้ชีวิตในยุคใหม่ มันเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์เกือบทุกสาขาโดยเฉพาะ ฟิสิกส์ การพัฒนาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด เช่น เทคนิคการก่อสร้าง การบิน และเทคโนโลยีอื่น ๆ เกือบทั้งหมด มีพื้นฐานมาจากแคลคูลัส

แคลคูลัสได้ขยายไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสเชิงเวลา แคลคูลัสกณิกนันต์ และ ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

กลศาสตร์ของไหล

          กลศาสตร์ของไหล คือวิชาที่ศึกษาพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของของไหลและแรงที่เกิดขึ้น (ของไหลหมายถึงของเหลวและกาซ) กลศาสตร์ของไหลอาจแบ่งได้เป็นสองส่วนคือสถิตยศาสตร์ของไหลซึ่งศึกษาของไหลในขณะที่หยุดนิ่ง และพลศาสตรฺของไหลที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล ศาสตร์นี้นับเป็นส่วนหนึ่งของกลศาสตร์ภาวะต่อเนื่องซึ่งศึกษาแบบจำลองของวัตถุโดยไม่สนใจข้อมูลในระดับอะตอม กลศาสตร์ของไหลเป็นหนึ่งในสาขาการวิจัยที่ได้รัยความสนใจและมีปรากฏการณ์มากมายที่ยังไม่ถูกค้นพบ หรือถูกค้นพบเพียงบางส่วน กลศาสตร์ของไหลประกอบด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน บางครั้งวิธีหาคำตอบที่ดีที่สุดคือการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์ วิทยาการสมัยใหม่เกี่ยวกับกลศาสตร์ของไหลคือ พลศาสตร์ของไหลเชิงคณนา (Computational Fluid Dynamics) (CFD) คือเครื่องมือที่ถูกใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ของไหลโดยเฉพาะ หรือการแก้ปัญหาด้วยการใช้ Particle Image Velocimetry มาใช้สร้างให้เห็นภาพการไหลของของไหลและศึกษาพฤติกรรมของมัน กลศาสตร์ของไหลเป็นส่วนหนึ่งของวิชาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของของไหลและแรงที่เกิดขึ้นในตัวของมัน

     สมมติฐาน

เช่นเดียวกับแบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ที่ถูกประยุกต์ใช้กับโลกแห่งความเป็นจริง กลศาสตร์ของไหลทำการสร้างสมมติฐานพื้นฐานเกี่ยวกับสสารที่กำลังถูกศึกษา สมมติฐานเหล่านี้จะถูกแปลงให้เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่ยอมรับได้ ถ้าสมมติฐานมีความเป็นจริงอยู่ ตัวอย่างเช่นการพิจารณาของไหลอัดตัวไม่ได้ (incompressible fluid) ในสามมิติ ข้อสมมติที่ว่ามวลได้รับการอนุรักษ์นั้นหมายถึงว่าในผิวปิดใด ๆ ก็ตาม อัตราการไหลเข้าของมวลจากภายนอกระบบ (สิ่งแวดล้อม) สู่ภายในระบบจะต้องเท่ากับอัตราการไหลออกจากระบบสู่สิ่งแวดล้อม หรือกล่าวอีกนัยว่ามวลของระบบนั้นคงที่นั่นเอง ซึ่งนี่ทำให้สมการอินทีกอลสามารถนำมาประยุกต์ใช้บนพื้นผิวได้

กศาสตร์ของไหลสมมติว่าทุก ๆ ของไหลนั้นสอดคล้องตามกฎเหล่านี้

     Ø      กฎการอนุรักษ์มวล

     Ø     กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

นอกจากนี้ การสมมติว่าของไหลเป็นของไหลอัดตัวไม่ได้นั้นค่อนข้างจะมีประโยชน์ในหลาย ๆ กรณีและมีความสมจริง ซึ่งของไหลอัดตัวไม่ได้เหล่านี้ ความหนาแน่นของมันจะคงที่เสมอ ของไหลสามารถถูกนำมาคำนวณด้วยข้อสมมติว่ามันเป็นของไหลอัดตัวไม่ได้อยู่บ่อยครั้ง ในขณะที่กาซไม่สามารถใช้ข้อสมมตินี้ได้

ในทางเดียวกัน ของไหลอาจจะถูกสมมติว่าไร้ความหนืด กาซมักจะถูกสมมติว่าไร้ความหนืดอยู่บ่อยครั้ง ถ้าของไหลถูกสมมติว่ามีความหนืดและเป็นการไหลในภาชนะบางอย่าง เช่น ท่อ ดังนั้นการไหลที่ผิวขอบจะมีความเร็วเป็นศูนย์ สำหรับของไหลที่มีความหนืดและขอบเขตไม่มีรูพรุน แรงเฉือนที่ผิวของไหลและขอบเขตจะส่งผลให้ความเร็วของของไหลเป็นศูนย์ ซึ่งเรียกว่า สภาวะไร้การไถล สำหรับการไหลผ่านขอบเขตที่มีรูพรุน ที่ผิวของภาชนะจะเกิดสภาวะการไถลทำให้ความเร็วไม่เป็นศูนย์ และจะเกิดสนามความเร็วที่ไม่ต่อเนื่องในของไหลระหว่างของไหลอิสระกับของไหลตามรูพรุน

ทฤษฎีความต่อเนื่อง

ในของไหลนั้นประกอบไปด้วยโมเลกุลที่เคลื่อนที่ชนกันไปชนกันมาและชนกับโมเลกุลอื่นและของแข็ง แต่ทว่าข้อสมมติความต่อเนื่องพิจารณาของไหลว่ามีความต่อเนื่อง ดังนั้นคุณสมบัติของของไหลเช่น ความหนาแน่น ความดัน อุณหภูมิ และความเร็วจะถูกพิจารณาเป็นจุดที่เล็กมาก ๆ เรียกว่า อีลาเมนท์อ้างอิงตามปริมาตร (Reference Element of Volume, REV) ซึ่งแบ่งตามระยะห่างเชิงเรขาคณิตของโมเลกุลของของไหลที่อยู่ใกล้เคียงกัน คุณสมบัติเหล่านี้ถูกสมมติให้มีลักษณะที่ต่อเนื่องอย่างมากจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งและถูกหาค่าเฉลี่ยใน REV ข้อเท็จจริงที่ว่าของไหลนั้นประกอบไปด้วยลักษณะที่ไม่ต่อเนื่องนั้นถูกละไว้

ทฤษฎีความต่อเนื่องนี้โดยพื้นฐานแล้วคือการประมาณค่า เฉกเช่นเดียวกับการที่ดาวเคราะห์ถูกพิจาณาให้เป็นจุดเล็ก ๆ เมื่อนำมาพิจารณาโดยกลศาสตร์ท้องฟ้า ดังนั้นคำตอบจึงเป็นค่าประมาณ ด้วยเหตุนี้เอง ทฤษฎีความต่อเนื่องมิอาจจะนำไปสู่การหาคำตอบแม่นตรงได้ อย่างไรก็ตาม ภายใต้สภาวการณ์ที่ถูกต้อง ทฤษฎีความต่อเนื่องอาจจะนำไปสู่คำตอบที่มีความแม่นยำสูงได้

สำหรับปัญหาที่ทฤษฎีความต่อเนื่องมิอาจจะให้คำตอบที่แม่นตรงได้ สามารถแก้ปัญหาได้ด้วยการใช้ Statistical mechanics เพื่อการพิจารณาว่าจะใช้กลศาสตร์ของไหลดั้งเดิมหรือStatistical mechanics นั้นตัวเลขคุดเซ็นจะถูกใช้เพื่อการประเมิน ตัวเชขคนูดเซ็นนี้อธิบายอัตราของความยาวของMean free path ต่อความยาวทางกายภาพของอนุภาคที่แน่นอน ซึ่งขนาดทางกายภาพในที่นี้อาจจะเป็นความยาวรัศมีของอนุภาคของของไหล หรือถ้าจะกล่าวให้ง่ายขึ้นไปอีก ตัวเลขคุดเซ็นหมายถึงอัตราส่วนของระยะทางโดยเฉลี่ยที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปจนกระทั่งชนเข้ากับอนุภาคอื่นต่อขนาดรัศมีของตัวมันเอง ปัญหาที่มีค่าตัวเลขคุดเซ็นมากกว่าหรือเท่ากับ 1 นั้นเหมาะแก่การคำนวณด้วย Statistical mechanics เพื่อการได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้